Integracion numerica, metodo de trapecios

Regla del trapecio compuesta

Ilustración de la regla del trapecio compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho ${\displaystyle \Delta x=(b-a)/n}$.
Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\sim {\frac {h}{2}}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]}$

Donde ${\displaystyle \textstyle h={\frac {b-a}{n}}}$ y n es el número de divisiones.
La expresión anterior también se puede escribir como:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim {\frac {b-a}{n}}\left[{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right]}$

El error en esta aproximación se corresponde con :

${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}\,f^{(2)}(\xi )}$

Siendo n el número de subintervalos

Ejemplo

${\displaystyle \int _{0}^{2}3x\,dx}$

Primero se obtiene h, de los límites de la integral que representan a y b y para n=6 queda: ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$ ${\displaystyle ={\frac {2-0}{6}}=0.3}$.
Y ahora se sustitu
ye en la fórmula

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ = ${\displaystyle {\frac {h}{2}}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]}$

y queda:

${\displaystyle \int _{0}^{2}3x\,dx}$ = ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{6}}[3(1)+2[3(1+1\cdot {\frac {1}{6}})]+2[3(1+2\cdot {\frac {1}{6}})]+2[3(1+3\cdot {\frac {1}{6}})]+2[3(1+4\cdot {\frac {1}{6}})]+2[3(1+5\cdot {\frac {1}{6}})]+3(2)]=4.5}$

En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a integración es lineal.

Para ampliar un poco mas el tema, se adjunta este video explicativo de este metodo:

Introduccion

Introduccion.

Este es un blog introductorio a la programacion y los metodos numericos, esta orientado a los cursos intermedios de ingenieria.
La ingenieria, al ser una disciplina que utiliza las matematicas como herramienta principal para sus desarrollos, requiere de herramientas automatizadas de calculo de diferentes metodos numericos.
Este blog explica algunos metodos numericos basicos y sus algoritmos computacionales.