Integracion numerica, metodo de trapecios

Regla del trapecio compuesta

Ilustración de la regla del trapecio compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho ${\displaystyle \Delta x=(b-a)/n}$.
Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\sim {\frac {h}{2}}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]}$

Donde ${\displaystyle \textstyle h={\frac {b-a}{n}}}$ y n es el número de divisiones.
La expresión anterior también se puede escribir como:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim {\frac {b-a}{n}}\left[{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right]}$

El error en esta aproximación se corresponde con :

${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}\,f^{(2)}(\xi )}$

Siendo n el número de subintervalos

Ejemplo

${\displaystyle \int _{0}^{2}3x\,dx}$

Primero se obtiene h, de los límites de la integral que representan a y b y para n=6 queda: ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$ ${\displaystyle ={\frac {2-0}{6}}=0.3}$.
Y ahora se sustitu
ye en la fórmula

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ = ${\displaystyle {\frac {h}{2}}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]}$

y queda:

${\displaystyle \int _{0}^{2}3x\,dx}$ = ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{6}}[3(1)+2[3(1+1\cdot {\frac {1}{6}})]+2[3(1+2\cdot {\frac {1}{6}})]+2[3(1+3\cdot {\frac {1}{6}})]+2[3(1+4\cdot {\frac {1}{6}})]+2[3(1+5\cdot {\frac {1}{6}})]+3(2)]=4.5}$

En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a integración es lineal.

Para ampliar un poco mas el tema, se adjunta este video explicativo de este metodo: